Integrationsmethoden

Ermittle die Stammfunktion:

             

Funktionen und Flächen

1. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Tangente im Punkt P(4/y) und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

2. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

3. Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Normalen im Punkt P(1/y) und der x-Achse begrenzt wird.

4. Durch P(x|30) der Parabel y² = 60x wird eine Tangente und parallel zu ihr eine Parallelsehne durch den Scheitel gezogen. Wie groß ist das von der Parallelsehne abgeschnittene Flächenstück?

Quadratische Gleichungen mit Brüchen

Quadratische Gleichungen mit Formvariablen

Gib die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a an!
(a) 4x² – 12x + (9 – a²) = 0
(b) 2x(x – a) + a(x – a) = 0
(c) (x – a)(x + a) + (x + a)² = 24a²
(d) (x – a)² + (ax – 1)² = a²(x² – 2) + 1

Wie muss a gewählt werden, damit folgende Gleichungen nur 1 Lösung besitzen? Gib die möglichen Gleichungen samt Lösungsmenge an:
(a) 2x² + (x + a)² + a = 0
(b) x² + 4ax + a² + a + 2 = 0
(c) (ax + 5)² = 5 – x²
(d) x² + (1 – 2a)x – ½ + a = 0

Textaufgaben zu Quad. Gleichungen

1. Eine positive Zahl ist um 5 größer als das 3-fache einer zweiten, ebenfalls positiven Zahl. Das Produkt der Zahlen ist 68.

Lösung: 4; 17

2. Addiert man das 3-fache einer bestimmten Zahl zum Doppelten ihres Kehrwertes, so erhält man 5. Wie lautet die Zahl?

Lösung: 1 bzw.

3. Welche Maße hat ein Rechteck mit 50m Umfang und 150m² Flächeninhalt?

Lösung: l=15m, b=10m.

4.) Die Hypothenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks misst 34cm. Wie lang sind die Katheten, wenn ihre Längen sich um 14 cm unterscheiden?

Lösung: 16, 30.

5. Ein rundherum gleich breiter Bilderrahmen hat die Außenabmessungen 60cm x 48cm. Wie breit ist der Rahmen, wenn von der Bildfläche 1408 cm² zu sehen sind?

Lösung: 8cm.

6. Ein Pilot durchfliegt eine Strecke von 600km Länge und braucht dafür eine bestimmte, unbekannte Zeit. Würde er die Geschwindigkeit um 40 km/h steigern, so brauchte er für dieselbe Strecke um eine halbe Stunde weniger. Berechne Flugdauer und Durchschnittsgeschwindigkeit!

Lösung: Durchschnittsgeschwindigkeit = 200km/h. Flugdauer: 3 Stunden.

7. Ein Geschäftsmann kauft eine Anzahl Hemden um 900 € und verkauft alle bis auf 6 mit einem Gewinn von 10 € pro Hemd. Mit dem Gesamterlös aus dem Verkauf könnte er um 30 Hemden mehr als zuerst kaufen. Berechne den Einkaufspreis/Hemd!

Lösung: 15 €.

8. Verlängert man die Kanten eines Würfels um 2 cm, so nimmt sein Volumen um 1016cm³ zu. Berechne die Oberflächen der beiden Würfel!

Lösung: 864 bzw. 1176 cm³

9. Bei einem Drehzylinder ist die Höhe um 6cm größer als der Durchmesser. Die Mantelfläche beträgt 1100cm². Berechne das Volumen!

Lösung: 4386,53 cm³

Stammfunktionen

Berechne folgende Integrale (Grundintegrale, ohne Verwendung von Integrationsmethoden!)

1.

2.

3.

4.

Extremwertaufgaben

1. Ein Kellerfenster soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wenn sein Umfang u = 4 m sein soll, wie sind die Abmessungen zu wählen, damit möglichst viel Licht durch das Fenster fällt?

2. Zwischen den 8 km voneinander entfernten Punkten A und B einer geradlinig verlaufenden Eisenbahnstrecke soll ein Bahnhof für zwei Orte C und D errichtet werden. C hat von A einen Normalabstand von 2 km, D hat von B einen Normalabstand von 5 km. Beide Orte liegen auf der gleichen Seite der Eisenbahnstrecke. In welcher Entfernung von A muß der Bahnhof gebaut werden, damit die Gesamtlänge des Weges vom Bahnhof nach C und D minimal wird ? Wie lang sind die beiden Wege?

Weitere Übungen für SCB

Übungen für SCB :-)

Differenzialrechnung

Eine Kugel wird senkrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe s(t)=34t-5t² erreicht (s in m, t in s).
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 3 Sekunden und nach genau 3 Sekunden?
b) Wann und in welcher Höhe dreht die Kugel um und fliegt wieder zu Boden?
c) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit schlägt die Kugel auf dem Boden auf?

Taufbecken & Mathematik

Ein Taufbecken besteht im Fußteil aus einem Ellipsoid, der Oberteil wird von 2 Parabeln erzeugt.

a) Ermittle die 3 Funktionsgleichungen! (Abmessungen siehe Skizze, Angaben in cm).
b) Wie schwer ist das Becken, wenn die Dichte ρ=4,8 kg/dm³ beträgt?
c) Wie viel Flüssigkeit passt in das komplett gefüllte Becken, wie viel, wenn es bis zur halben Höhe gefüllt ist?
d) Wie hoch steht das Wasser, wenn 10 Liter eingefüllt werden?

Vektorrechnung in R²

Die Basisstrecke eines gleichschenkeligen Dreiecks ABC liegt auf der Geraden
A hat die 1. Koordinate 3, die Basis c = AB hat die Länge 4.√5, die Höhe h_c hat die Länge 7.√5.

Erläutere, warum das Beispiel 4 Lösungen hat!
Ermittle bei einer davon durch Zeichnung und Rechnung die Koordinaten der Punkte A, B, C!

Kreisliga Mitte

Peuerbach/Bad Sch. 1	+/-	5.0:3.0	Schwanenstadt 1	+/-
Schüller Ernst	-4.7	½ : ½	Mühlleitner Hermann	+6.8
Kramer Gerhard	-1.7	½ : ½	Breneis Lukas	+1.8
Wiesenecker Franz	-.2	½ : ½	Tokalic Josef	+.1
Druckenthaner Erich	+15.8	1 : 0	Steirer Gerhard	-14.5
Tauschek Christian	-14.1	0 : 1	Kumpfmüller Thomas	+14.3
Wiesinger Klaus	+8.3	1 : 0	Jitar Christian Ing.	-9.9
Ecklmaier Rudolf	+14	1 : 0	Mihailovic Dusko	-14.3
Gornicec Robert	+.3	½ : ½	Skembic Hasib	-.4
Eloschnitt	1849		Eloschnitt	1794

Trigonometrie

Vom Punkt A einer 350 m über dem Meeresspiegel liegenden horizontalen Ebene aus erscheint die Spitze C eines Bergs unter dem Höhenwinkel α = 10° 20′ 16“. Diese Bergspitze wird von einer genau dahinter liegenden zweiten Bergspitze D überragt, die von A unter dem Höhenwinkel β = 13°32’19“ erscheint. Von einem 3 km näher beim ersten Berg liegenden Punkt B aus erscheinen beide Gipfel in einer Linie unter dem Höhenwinkel φ = 17° 42′ 16“.

a) Berechne die Höhe beider Berge.

b) Wie groß ist die Entfernung der beiden Gipfel auf einer Karte im Maßstab 1 : 50 000?

Vektorrechnung in R²

geg: und

ABCD ist ein Parallelogramm, wobei gilt: A ist der Schnittpunkt von g mit h; B liegt auf g und = 10; D liegt auf h und . Wie viele solcher Parallelogramme gibt es? Berechne von einem der möglichen Parallelogramme B, C, D und AC. Wie groß ist die Fläche?

Mannschaftsmeisterschaft 2007/2008

Endlich beginnt die Meisterschaft wieder, nachdem unsere Spieler bereits seit Wochen in den Starlöchern gescharrt haben. Und MF Söllinger kann auf einen durchaus zufrieden stellenden Aufbruch verweisen. Gegen die deutlich stärker einzuschätzenden Frankenburger (immerhin das elo-stärkste Team der Runde!) konnten 2,5 Punkte geholt werden, was klar über der Erwartung liegt. Söllinger gelang es, Routiners (Gröstlinger und Kiss gewannen und erzielten Riesen-Elo-Gewinne) und New-Comers (Seufer-Wasserthal) gut zu mischen. Und ein lange nicht mehr in der Mannschaft Gesehener feiert ein erfreuliches Comeback: Holzleitner Jürgen spielt untenschieden.

Frankenburg 2	+/-	3.5:2.5	Schwanenstadt 2	+/-
Wimmer Franz	-3.8	½ : ½	Holzleitner Jürgen	+4
Gadermair Georg	+4.6	1 : 0	Motz Johann	-6.4
Korn Lothar Mag.	-19.9	0 : 1	Kiss Carol	+21.7
Thomann Johann	+9	1 : 0	Söllinger Ernst	-10.8
Pixner Helmut	+10.9	1 : 0	Seufer-Wasserthal D.	-12.7
Kretz Johannes	-25.8	0 : 1	Gröstlinger Hubert	+29.9
Eloschnitt	1609		Eloschnitt	1460

Normalverteilung

Fleischhauer Benedikt verkauft im Monat 600 Kalbsschnitzel. 8% der verkauften Kalbsschnitzel sind schwerer als 300 g, 5% leichter als 180g. Berechne unter der Annahme, dass die Masse der Kalbsschnitzel normalverteilt ist, Erwartungswert und Standardabweichung.

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Masse eines Kalbsschnitzels mehr als 40 g vom Mittelwert abweicht?

Wie viel Gramm müsste ein Superschnitzel mindestens haben um zu den 30 schwersten Schnitzeln zu zählen?

Volumsberechnung mit Integral

Ein Fass ist 8 dm lang, sein Durchmesser beträgt in der Mitte 8 dm und am Rand 6 dm. Die Fassdauben haben die Form einer Parabel. Wie groß ist das Volumen des Fasses?
(Tipp: Zeichne das Fass so in das Koordinatensystem, dass der Ursprung im Mittelpunkt liegt und die x-Achse die Rotationsachse ist, und ermittle die Gleichung der Parabel y = ax² + b.)

Binomialverteilung

Hier mal als kleine Übungsaufgabe ein Beispiel zur Binomialverteilung:

Schokoladetafeln werden in Kartons zu je fünf Stück weiterverpackt, wobei erfahrungsgemäß 1% der Tafeln zu Bruch gehen.
(a)    Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthält ein Karton mehr zerbrochene als ganze Tafeln?
(b)    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Karton lauter ganze Tafeln enthält?
(c)    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von zehn Kartons mindestens acht keine zerbrochenen Tafeln enthalten?

Auslosung 3. Mannschaft

Schwanenstadt III – 2. Klasse Süd-West 2007 – 2008

1. Runde	Samstag, 06.10.2007	Attnang-Puchheim 2	-	Schwanenstadt 3
2. Runde	Samstag, 20.10.2007	Schwanenstadt 3	-	Vöcklabruck 4
3. Runde	Samstag, 03.11.2007	Schwanenstadt 3	-	Vöcklabruck 5
4. Runde	Sonntag, 18.11.2007	Scharnstein 2	-	Schwanenstadt 3
5. Runde	Samstag, 01.12.2007	Schwanenstadt 3	-	Frankenburg 3
6. Runde	Samstag, 15.12.2007	Gmunden 3	-	Schwanenstadt 3
7. Runde	Samstag, 19.01.2008	Schwanenstadt 3	-	Schach am Attersee 2
8. Runde	Samstag, 09.02.2008	Schach am Attersee 3	-	Schwanenstadt 3
9. Runde	Samstag, 23.02.2008	Schwanenstadt 3	-	Obertraun 1
10. Runde	Sonntag, 09.03.2008	Frankenburg 4	-	Schwanenstadt 3
11. Runde	Samstag, 22.03.2008	Schwanenstadt 3	-	Scharnstein 3