Ermittle die Stammfunktion:

1. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Tangente im Punkt P(4/y) und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

2. Wie groß ist die Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Wendetangente und den Koordinatenachsen begrenzt wird?

3. Berechne den Inhalt der Fläche, die vom Graphen der Funktion , der Normalen im Punkt P(1/y) und der x-Achse begrenzt wird.

4. Durch P(x|30) der Parabel y² = 60x wird eine Tangente und parallel zu ihr eine Parallelsehne durch den Scheitel gezogen. Wie groß ist das von der Parallelsehne abgeschnittene Flächenstück?

Gib die Lösungsmenge in Abhängigkeit von a an!
(a) 4x² – 12x + (9 – a²) = 0
(b) 2x(x – a) + a(x – a) = 0
(c) (x – a)(x + a) + (x + a)² = 24a²
(d) (x – a)² + (ax – 1)² = a²(x² – 2) + 1

Wie muss a gewählt werden, damit folgende Gleichungen nur 1 Lösung besitzen? Gib die möglichen Gleichungen samt Lösungsmenge an:
(a) 2x² + (x + a)² + a = 0
(b) x² + 4ax + a² + a + 2 = 0
(c) (ax + 5)² = 5 – x²
(d) x² + (1 – 2a)x – ½ + a = 0

1. Eine positive Zahl ist um 5 größer als das 3-fache einer zweiten, ebenfalls positiven Zahl. Das Produkt der Zahlen ist 68.

Lösung: 4; 17

2. Addiert man das 3-fache einer bestimmten Zahl zum Doppelten ihres Kehrwertes, so erhält man 5. Wie lautet die Zahl?

Lösung: 1 bzw.

3. Welche Maße hat ein Rechteck mit 50m Umfang und 150m² Flächeninhalt?

Lösung: l=15m, b=10m.

4.) Die Hypothenuse eines rechtwinkeligen Dreiecks misst 34cm. Wie lang sind die Katheten, wenn ihre Längen sich um 14 cm unterscheiden?

Lösung: 16, 30.

5. Ein rundherum gleich breiter Bilderrahmen hat die Außenabmessungen 60cm x 48cm. Wie breit ist der Rahmen, wenn von der Bildfläche 1408 cm² zu sehen sind?

Lösung: 8cm.

6. Ein Pilot durchfliegt eine Strecke von 600km Länge und braucht dafür eine bestimmte, unbekannte Zeit. Würde er die Geschwindigkeit um 40 km/h steigern, so brauchte er für dieselbe Strecke um eine halbe Stunde weniger. Berechne Flugdauer und Durchschnittsgeschwindigkeit!

Lösung: Durchschnittsgeschwindigkeit = 200km/h. Flugdauer: 3 Stunden.

7. Ein Geschäftsmann kauft eine Anzahl Hemden um 900 € und verkauft alle bis auf 6 mit einem Gewinn von 10 € pro Hemd. Mit dem Gesamterlös aus dem Verkauf könnte er um 30 Hemden mehr als zuerst kaufen. Berechne den Einkaufspreis/Hemd!

Lösung: 15 €.

8. Verlängert man die Kanten eines Würfels um 2 cm, so nimmt sein Volumen um 1016cm³ zu. Berechne die Oberflächen der beiden Würfel!

Lösung: 864 bzw. 1176 cm³

9. Bei einem Drehzylinder ist die Höhe um 6cm größer als der Durchmesser. Die Mantelfläche beträgt 1100cm². Berechne das Volumen!

Lösung: 4386,53 cm³

Berechne folgende Integrale (Grundintegrale, ohne Verwendung von Integrationsmethoden!)

1.

2.

3.

4.

1. Ein Kellerfenster soll die Form eines Rechtecks mit aufgesetztem Halbkreis erhalten. Wenn sein Umfang u = 4 m sein soll, wie sind die Abmessungen zu wählen, damit möglichst viel Licht durch das Fenster fällt?

2. Zwischen den 8 km voneinander entfernten Punkten A und B einer geradlinig verlaufenden Eisenbahnstrecke soll ein Bahnhof für zwei Orte C und D errichtet werden. C hat von A einen Normalabstand von 2 km, D hat von B einen Normalabstand von 5 km. Beide Orte liegen auf der gleichen Seite der Eisenbahnstrecke. In welcher Entfernung von A muß der Bahnhof gebaut werden, damit die Gesamtlänge des Weges vom Bahnhof nach C und D minimal wird ? Wie lang sind die beiden Wege?

Eine Kugel wird senkrecht nach oben geschossen. Nach t Sekunden hat sie die Höhe s(t)=34t-5t² erreicht (s in m, t in s).
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit der Kugel in den ersten 3 Sekunden und nach genau 3 Sekunden?
b) Wann und in welcher Höhe dreht die Kugel um und fliegt wieder zu Boden?
c) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit schlägt die Kugel auf dem Boden auf?